Абсолютная погрешность среднего значения

В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение которой принято за единицу.

Полученные в результате измерений числовые значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.

При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных при измерениях. Это позволит научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точность полученных значений.

Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой, однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае называется прямым. Прямые непосредственные измерения — это такие измерения, при которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо прямым сравнением ее с мерой эталоном , либо с помощью приборов, градуированных в единицах измеряемой величины. Однако далеко не всегда такое сравнение производится непосредственно.

В большинстве случаев измеряется не сама интересующая нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения необходимой величины приходится предварительно измерить несколько других величин, по значению которых вычислением определяется значение искомой величины. Такое измерение называется косвенным. Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой величины.

В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями. При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения: Поэтому процесс измерения содержит наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения.

Современный инженер должен уметь оценить погрешность результатов измерений с учетом требуемой надежности. Поэтому большое внимание уделяется обработке результатов измерений. Знакомство с основными методами расчета погрешностей — одна из главных задач лабораторного практикума. Например, измерение размеров детали с помощью штангенциркуля, приводит к сжатию детали, то есть к изменению ее размеров.

Иногда влияние прибора на измеряемую величину можно сделать относительно малым, иногда же оно сравнимо или даже превышает саму измеряемую величину. Например, трение между различными деталями в стрелочном блоке амперметра приводит к тому, что изменение тока на некоторую малую, но конечную, величину не вызовет изменения угла отклонения стрелки. Это ограничивает возможность воспроизводимости условий измерения, а, следовательно, и результата измерения.

Очевидно, что погрешность косвенного измерения зависит от погрешностей всех прямых измерений. Кроме того, в ошибки косвенного измерения свой вклад вносят и ограниченность наших познаний об измеряемом объекте, и упрощенность математического описания связей между величинами, и игнорирование влияния тех величин, воздействие которых в процессе измерения считается несущественным.

Значение погрешности измерения некоторой величины принято характеризовать:. Абсолютной погрешностью — разностью между найденным на опыте измеренным и истинным значением некоторой величины. Относительной погрешностью равной отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины Х. Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного значения величины Х мы ошибаемся. Качество результатов измерений какой-то величины характеризуется относительной погрешностью.

Величина может быть выражена в процентах. Из формул 1 и 2 следует, что для нахождения абсолютной и относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное, но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение, достаточно мало от него отличающееся.

Поэтому формулы 1 и 2 , определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики, качество приборов и ряд других факторов. Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях промахах , возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры.

Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать. Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют случайными. Случайные погрешности непроизвольно вносятся экспериментатором вследствие несовершенства органов чувств, случайных внешних факторов и т. Если погрешность каждого отдельного измерения принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют значение измеряемой величины.

Эти погрешности можно оценить только при помощи статистической обработки многократных измерений искомой величины. Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи весов и т. Они сохраняют свою величину и знак! В результате систематических погрешностей разбросанные из-за случайных погрешностей результаты опыта колеблются не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения рис.

Систематические ошибки закономерным образом изменяют значения измеряемой величины. Наиболее просто поддаются оценке погрешности, вносимые в измерения приборами, если они связаны с конструктивными особенностями самих приборов.

Эти погрешности указываются в паспортах к приборам. Погрешности некоторых приборов можно оценить и не обращаясь к паспорту. Для многих электроизмерительных приборов непосредственно на шкале указан их класс точности. Класс точности прибора — это отношение абсолютной погрешности прибора к максимальному значению измеряемой величины , которое можно определить с помощью данного прибора это систематическая относительная погрешность данного прибора, выраженная в процентах от номинала шкалы.

Тогда абсолютная погрешность такого прибора определяется соотношением:. Для электроизмерительных приборов введено 8 классов точности: Чем ближе измеряемая величина к номиналу, тем более точным будет результат измерения. Это обстоятельство необходимо учитывать при использовании многошкальных приборов. Шкалу надо выбирать с таким расчетом, чтобы измеряемая величина, оставаясь в пределах шкалы, была как можно ближе к номиналу. Эти погрешности имеют статистический характер и описываются теорией вероятности.

Установлено, что при очень большом количестве измерений вероятность получить тот или иной результат в каждом отдельном измерении можно определить при помощи нормального распределения Гаусса. Пусть при измерении некоторой величины мы получили N результатов: Среднее арифметическое серии измерений ближе к истинному значению измеряемой величины, чем большинство отдельных измерений. Для получения результата измерения некоторой величины используется следующий алгоритм. Вычисляется абсолютная случайная погрешность каждого измерения — это разность между средним арифметическим серии из N прямых измерений и данным измерением:.

Вычисляется средняя квадратичная абсолютная погрешность:. Вычисляется абсолютная случайная погрешность. При небольшом числе измерений абсолютную случайную погрешность можно рассчитать через среднюю квадратичную погрешность и некоторый коэффициент , называемый коэффициентом Стъюдента:.

Коэффициент Стьюдента зависит от числа измерений N и коэффициента надежности в таблице 1 отражена зависимость коэффициента Стьюдента от числа измерений при фиксированном значении коэффициента надежности. Коэффициент надежности — это вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины попадает в доверительный интервал.

Доверительный интервал — это числовой интервал, в который с определенной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины.

Таким образом, коэффициент Стъюдента — это число, на которое нужно умножить среднюю квадратичную погрешность, чтобы при данном числе измерений обеспечить заданную надежность результата. Чем большую надежность необходимо обеспечить для данного числа измерений, тем больше коэффициент Стъюдента. С другой стороны, чем больше число измерений, тем меньше коэффициент Стъюдента при данной надежности. В лабораторных работах нашего практикума будем считать надежность заданной и равной 0,9.

Числовые значения коэффициентов Стъюдента при этой надежности для разного числа измерений приведены в таблице 1. Вычисляется полная абсолютная погрешность.

При любых измерениях существуют и случайные и систематические погрешности. Расчет общей полной абсолютной погрешности измерения дело непростое, так как эти погрешности разной природы. Для инженерных измерений имеет смысл суммировать систематическую и случайную абсолютные погрешности. Для простоты расчетов принято оценивать полную абсолютную погрешность как сумму абсолютной случайной и абсолютной систематической приборной погрешностей, если погрешности одного порядка величины, и пренебрегать одной из погрешностей, если она более чем на порядок в 10 раз меньше другой.

Округляется погрешность и результат. Поскольку результат измерений представляется в виде интервала значений, величину которого определяет полная абсолютная погрешность, важное значение имеет правильное округление результата и погрешности. Округление начинают с абсолютной погрешности!!! Число значащих цифр, которое оставляют в значении погрешности, вообще говоря, зависит от коэффициента надежности и числа измерений.

Однако даже для очень точных измерений например, астрономических , в которых точное значение погрешности важно, не оставляют более двух значащих цифр. В нашем практикуме сравнительно небольшой коэффициент надежности и малое число измерений. Поэтому при округлении с избытком полной абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Погрешность измерения

Разряд значащей цифры абсолоютной погрешности определяет разряд первой сомнительной цифры в значении результата. Следовательно, само значение результата нужно округлять с поправкой до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности. Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Если при измерении массы тела получен результат , то писать нули в конце числа 0, необходимо.

Запись означала бы, что о следующих значащих цифрах ничего не известно, в то время как измерения показали, что они равны нулю. Здесь — полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и — округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины.

При записи результата измерений обязательно нужно указать единицу измерения величины. Пусть при измерении длины отрезка мы получили следующий результат: Как грамотно записать результат измерений длины отрезка?

Сначала округляем с избытком абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру см. Значащая цифра погрешности в разряде сотых. Затем округляем с поправкой среднее значение с точностью до сотых, т. Пусть при расчете сопротивления проводника мы получили следующий результат: Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру. Затем округляем среднее значение с точностью до целых. Пусть при расчете массы груза мы получили следующий результат: Сначала округляем абсолютную погрешность, оставляя одну значащую цифру кг.

Затем округляем среднее значение с точностью до десятков кг. Из приведенных примеров видно, что округление абсолютной погрешности производится до первой значащей цифры в сторону увеличения с избытком. Среднее значение измеряемой величины округляется с поправкой до той значащей цифры, разряд которой совпадает с разрядом значащей цифры погрешности. При округлении относительной погрешности оставляем две значащие цифры.

Пусть искомую величину можно рассчитать, составив функциональную зависимость от непосредственно измеряемых величин. Пусть при этом известны абсолютные погрешности всех прямых измерений , причем эти погрешности малы по сравнению с самими измеряемыми величинами. Тогда погрешность искомой величины вычисляется подобно полному дифференциалу функции:.

Формула отыскания относительной погрешности совпадает с формулой , если в последней заменить дифференциалы аргументов на абсолютные погрешности прямых измерений, а минусы на плюсы. Чаще всего зависимость имеет вид:. Тогда формула для расчета относительной погрешности данного косвенного измерения будет следующей. Напишите формулы для определения относительной и абсолютной погрешностей косвенных измерений.

Найдите относительную погрешность измерения длины стены при помощи рулетки с ценой деления 0,5см. Измеренная величина составила 4,66м. Напишите формулу для определения относительной погрешности объема куба по результатам этих измерений. Тело двигалось равноускоренно из состояния покоя.

Для расчета ускорения измерили путь S, пройденный телом, и время его движения t. Выведите формулу для расчета относительной погрешности ускорения по этим данным. Запишите результат в виде доверительного интервала, выполнив необходимое округление. При расчете величины сопротивления по данным измерений получены следующие значения: Ток силой 16,6 А определялся по прибору с классом точности 1,5 и номиналом шкалы 50 А.

Найдите абсолютную приборную и относительную погрешности этого измерения. В серии из 5 измерений периода колебаний маятника получились следующие значения: Найдите абсолютную случайную погрешность определения периода по этим данным. Опыт падения груза с некоторой высоты повторяли 6 раз.

При этом получались следующие величины времени падения груза: Найдите относительную погрешность определения времени падения. Цена деления определяется как отношение верхнего предела измерения прибора к числу делений шкалы.

Теория погрешностей Измерение физических величин. Физика Измерительная техника Метрология. Теория погрешностей Измерение физических величин В основе точных естественных наук лежат измерения. Существует много причин для возникновения погрешностей измерений. Перечислим некоторые из них. Классификация погрешностей Значение погрешности измерения некоторой величины принято характеризовать: Подписаться на рассылку Pandia.

Интересные новости Важные темы Обзоры сервисов Pandia. Основные порталы, построенные редакторами. Бизнес и финансы Бизнес: Каталог авторов частные аккаунты. Все права защищены Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов.

Минимальная ширина экрана монитора для комфортного просмотра сайта: Мы признательны за найденные неточности в материалах, опечатки, некорректное отображение элементов на странице - отправляйте на support pandia.

О проекте Справка О проекте Сообщить о нарушении Форма обратной связи. Авторам Открыть сайт Войти Пожаловаться. Архивы Все категории Архивные категории Все статьи Фотоархивы.

Лента обновлений Педагогические программы. Правила пользования Сайтом Правила публикации материалов Политика конфиденциальности и обработки персональных данных При перепечатке материалов ссылка на pandia.

Смотрите также:


Коментарии:
  • В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t -распределением. Здесь — полная, округленная до первой значащей цифры, абсолютная погрешность и — округленное с учетом уже округленной погрешности среднее значение измеряемой величины. Например, чтобы получить величину каждого угла треугольника, достаточно измерить лишь два из них — это и будет необходимое число величин.

Интересное